Реклама












Програма факультативу з математики, 8-9 клас


Орієнтовна програма гуртка (факультативу) «Вибрані питання математики» для учнів 8-9-х класів

Пояснювальна записка

В курсі «Вибрані питання математики» використані матеріали, підготовлені ИОСО РАО Г.В. Дорофєєвим, Е.А. Бунимовичем, Л.В. Кузнєцової, С.С. Мінаєвої, С.Б. Суворової, Міщенко Т.М. та Л.О. Рословой.

Матеріал для курсу підібраний таким чином, щоб розвинути інтерес школярів до предмета, продемонструвати застосування математики на практиці (в економіці, архітектурі, мистецтві), познайомити з деякими історичними сполуками, підкреслити естетичні аспекти досліджуваних питань.

Особливість курсу полягає в тому, що для занять пропонуються невеликі фрагменти, розраховані на 2 - 4 уроки, які належать до різних розділів математики. Рівень складності такий, що до їх розгляду можна залучити значну кількість школярів. Для кого-то з них ці заняття можуть стати поштовхом у розвитку інтересу до математики. Сюжетне побудова курсу дозволяє змінювати порядок тем і кількість годин в аналізованому фрагменті залежно від інтересу учнів та за їх бажанням включати нові теми для розгляду.

При вивченні курсу не ставиться за мету вироблення якихось спеціальних умінь і навичок. Метою роботи гуртка є розвиток мотивації учнів до вивчення точних наук, прищеплення інтересу до тієї чи іншої теми в навчальному курсі математики, розкриття краси і важливості математики в житті людини. Виходячи з цього, основними завданнями курсу можна вважати виявлення математичних нахилів і здібностей учнів; розуміння значущості математики як частини загальнолюдської культури для професійної діяльності; формування якостей мислення, характерних для математичної діяльності і в той же час формування цілісної картини Світу (наприклад, зв'язок архітектури з математикою).

Курс складається з семи фрагментів:

• Знайомство з комбінаторикою.

• Відсоткові обчислення в життєвих ситуаціях.

• Золотий перетин.

• Діофантові рівняння.

• Нерівності з двома змінними на координатній площині.

• Графіки рівнянь з модулями.

• Побудова одним циркулем.

Для освітлення курсу пропонується 17 годин. Застосовуються такі форми роботи, як лекції, бесіди, практикуми (рішення задач), передбачаються самостійні або групові проектні розробки (складання задачника, підготовка реферату, історичний екскурс). Форми роботи передбачаються як індивідуальні, так і групові, дослідницькі.

Курс «Вибрані питання математики» дозволить отримати уявлення про комбінаториці; розширить межі застосування процентного числення, загальний кругозір особистості і розвине естетичне сприйняття математичних фактів, глибше покаже зв'язок між алгебраїчними співвідношеннями і їх геометричними образами.

Критерієм досягнень учнів буде усвідомлений вибір проектної роботи і достатня повнота і серйозність цієї роботи.

Теми проектних робіт:

1. Випадкові наслідки подій і явищ та їх дослідження.

2. Збір та аналіз даних і види їх подання.

3. «Золотий переріз» в математиці, архітектурі та мистецтві.

Тематичний план роботи гуртка (факультативу)

№ п/п

Найменування фрагмента

Всього годин

В тому числі

Форми контролю

теорія

практика

1

Знайомство з комбінаторикою

3

1

2

Самостійна робота

2

Відсоткові обчислення в життєвих ситуаціях

3

0,5

2,5

Складання завдань з рішенням

3

Золотий переріз

2

1

1

Історичні відомості

4

Діофантові рівняння

2

0,5

1,5

Самостійна робота

5

Нерівності з двома змінними на координатній площині

2

-

2

Самостійна робота

6

Графіки рівнянь з модулями

3

1

2

Практична робота

7

Побудова одним циркулем

2

-

2

Практична робота

Зміст програми

I. Знайомство з комбінаторикою (3 год).

1. Комбінаторні задачі. Історичний екскурс.

2. Рішення задач за допомогою правила множення.

3. Знайомство з іншими прийомами.

II. Відсоткові обчислення в життєвих ситуаціях (ч).

1. Розпродаж.

2. Тарифи.

3. Штрафи.

4. Банківські операції.

5. Голосування.

III. Золотий перетин (2 год).

1. Що означають слова «золотий перетин»?

2. Чому одно золотий перетин?

3. Будуємо золотий прямокутник циркулем і лінійкою.

4. Цікавий факт: золотий прямокутник «зберігає форму».

5. Чим приваблює людей п'ятикутна зірка?

IV. Діофантові рівняння (2 год).

1. Вступна завдання та історичний екскурс.

2. Рішення лінійних рівнянь методом перебору.

3. Ще один прийом рішення - «метод спуску».

4. З'ясовуємо: завжди лінійне рівняння з цілими коефіцієнтами має цілі рішення.

V. Нерівності з двома змінними на координатній площині (2 год).

1. Завдання областей на координатній площині нерівностей виду X > A, Y > і системою таких нерівностей.

2. Завдання областей координатній площині лінійними нерівностей з двома змінними та системами таких нерівностей.

3. Приклади геометричної інтерпретації нелінійних нерівностей з двома змінними та їх систем.

VI. Графіки рівнянь з модулями (3 год).

1. Актуалізація базових знань та вмінь. Пояснення і мотивація мети роботи.

2. Прийоми побудови графіків і виконання вправ.

VII. Побудова одним циркулем (2 год).

1. Постановка математичної проблеми і її історія.

2. Рішення геометричних завдань на побудова одним циркулем.

Методичні рекомендації щодо змісту та проведення занять

Знайомство з комбінаторикою

1. Необхідно окреслити коло завдань, які будуть запропоновані учням. Це завдання, що містять питання типу: «Скількома способами?», «Скільки існує варіантів?» і т. д. Наприклад, скільки існує способів розподілу золотої, срібної та бронзової медалей між командами у футбольному чемпіонаті? Скількома способами можна дістатися з одного міста в інше? Скільки абонентів може обслуговувати телефонна станція, якщо всі чотиризначні номери? Такі завдання називаються комбінаторні.

2. Трохи про історію комбінаторних задач. З такими завданнями люди стикалися ще в глибоку давнину, коли, наприклад, вибирали найкраще розташування мисливців під час полювання, придумували візерунки на одязі або посуді. Потім з'явилися ігри (нарди, шашки, шахи та ін). Пристосування для таких ігор вчені знаходили в стародавніх похованнях (наприклад, у гробниці єгипетського фараона Тутанхамона). Як гілка математики комбінаторика з'явилася в XVII ст. Поштовхом до цього послужили азартні ігри (наприклад, гра в кості). Проблемою ймовірності випадання різних комбінацій займалися в XVI ст. італійці Джироламо Кардана, Нікколо Тарталья, у XVII ст. - Галілео Галілей, найбільші математики Франції Блез Паскаль і П'єр Ферма. Роботи останніх ознаменували народження комбінаторики і теорії ймовірностей. Ще одна причина появи цих гілок математики - листування і таємні шифри. Так, ще наприкінці XVI ст., під час війни Франції з Іспанією, розшифровкою листування між противниками французького короля Генріха III і іспанцями займався великий математик Франсуа вієта які були введені. Надалі полем для застосування комбінаторних прийомів виявилися біологія, хімія, фізика. І, нарешті, з появою комп'ютерів комбінаторика перетворилася в область, яка знаходиться на магістральному шляху розвитку науки.

3. Далі розглядаються завдання, які вирішуються на основі правила множення. Слід зробити акцент не на формальному застосуванні цього правила.

Завдання 1. З Петербурга в Москву можна дістатися на поїзді, літаку, автобусі або теплоході, а з Москви до володимира - на автобусі або електричці. Скількома способами можна здійснити подорож Петербург - Москва - Володимир?

Рішення.

Всього виходить 8 способів подорожі.

Петербург

Потяг, літак, автобус, теплохід

Москва

Автобус, електричка

Володимир

Записуємо висновок як просте твердження: якщо деяка дія можна здійснити m різними способами, після чого інша дія - п різними способами, то два цих дії можна здійснити m • п різними способами.

Завдання 2. В розіграші чемпіонату з футболу беруть участь 12 команд. Скількома способами можуть бути розподілені: а) золота медаль; б) золота і срібна медалі; в) золота, срібна і бронзова медалі?

Рішення.

а) 12 (будь-яка команда);

б) 12 • 11 = 132 (за правилом множення срібна медаль розігрується вже між 11-ю командами);

в) 12-11 • 10 = 1320 (це узагальнення правила множення для трьох дій).

Завдання 3. Скільки існує варіантів коду для вхідних дверей, що складається з трьох цифр?

Рішення.

1. Якщо розглядати випадок послідовного набору, то цифри (їх 10) можуть повторюватися. Тоді за правилом множення:

10 • 10 • 10 = 1000 (варіантів коду).

2. У разі одночасного набору трьох цифр виходить:

10 • 9 • 8 = 720 (варіантів коду).

Задачі для самостійного розв'язання (на заняттях в гуртку і вдома)

Завдання 4. Скільки існує чотиризначних чисел, у запису яких: а) не повторюється ні одна з цифр; б) цифри можуть повторюватися; в) всі цифри - непарні;

г) всі цифри - парні? Відповідь: а) 9 • 9 • 8 • 7 = 4536;

б) 9 • 10 • 10 • 10 = 9000;

в) 5 • 5 • 5 • 5 = 625;

г) 4 • 5 • 5 • 5 = 500.

Завдання 5. Відомо, що у всіх жителів селища різні ініціали. Яке максимальне число жителів може бути у селі? Ім'я та по батькові не може починатися з літери ї, ъ, ь, ы.

Відповідь: 29 • 29 = 841 житель.

Завдання 6. Скількома способами можна поставити на шахову дошку білу і чорну човен так, щоб вони не били один одного?

Відповідь: 64 • 49 = 3136 способів.

4. Такі завдання дозволяють звернути увагу учнів на те, що правило множення зовсім не єдиний і не універсальний спосіб вирішення завдань в комбінаториці.

Завдання 7. При передачі повідомлень по телеграфу використовується азбука Морзе. В цій абетці кожна буква передається послідовністю точок і тире. Чи можна обійтися послідовністю з чотирьох знаків, щоб передати всі букви алфавіту?

Рішення.

1. З допомогою одного знака можна передати дві букви («• » і «-»).

2. З допомогою двох знаків - чотири(« • •», «-», «• -» і «- •»).

3. З трьох знаків - 8 букв.

4. З чотирьох знаків - 16 літер.

Отже, всього 2 + 4 + 8 + 16 = 30 літер можна передати з допомогою чотирьох знаків. Російський алфавіт містить 33 букви.

Відповідь: не можна.

Завдання 8. У країні 25 міст, і кожні два з'єднані авіалінією. Скільки всього авіаліній в країні?

Рішення.

З А виходить 24 авіалінії, В - 23, С - 22 і т. д.

Відповідь: 24 + 23 + ... + 2 + 1 = 300 авіаліній.

Завдання для самостійного рішення

Завдання 9. Петро 5 раз підкидав монету і кожен раз записував, що у нього випадало - «орел» або «решка». Вийшла послідовність з 5 букв: ОРРОО.

А скільки всього існує таких варіантів послідовностей?

Відповідь: 25 = 32.

Завдання 10. У турнірі брали участь 16 шахістів, причому кожен з кожним зіграв по одній партії. Скільки було зіграно партій?

Відповідь: (16 • 15) : 2 = 120.

Завдання 11. На офіційному прийомі 50 осіб обмінялися рукостисканнями. Скільки всього було зроблено рукостискань?

Відповідь: (50 • 49) : 2 = 1225.

Завдання 12. Скількома способами з класу в 30 людей можна вибрати капітана команди і його заступника?

Відповідь: 30 • 29 = 870.

Завдання 13. Скількома способами з класу в 30 людей можна вибрати двох для участі в математичній олімпіаді?

Відповідь: (30 • 29) : 2 = 435.

5. Результати самостійного рішення обговорюються на заняттях гуртка.